课程号: 00132340
课程名称:常微分方程
开课学期:春
学分: 3
先修课程:数学分析、高等代数、解析几何
基本目的:常微分方程是综合性大学数学系各专业的重要基础课,也是应用性很强的一门数学课。本课程的目的是学习和掌握常微分方程的基本知识,并为后行课(数理方程、微分几何、泛函分析等)作好准备;通过穿插的实例(特别是在历史上成功地利用微分方程解释实际现象的著名范例)培养学生利用数学理论解决实际问题的意识和初步能力。
内容提要:
一、基本概念(1学时)
微分方程及其解的定义,解的几何解释
二、初等积分法(10学时)
恰当方程,变量分离的方程,齐次方程、伯努里方程、黎卡提方程,积分因子法,一阶线性方程,一阶隐式微分方程的解法,Clairaut方程
三、存在唯一性定理(12学时)
Lipschitz条件, Picard迭代序列,Picard 定理, Peano定理,
解的最大存在区间, 解的延伸定理, 解对初值和参数的连续依赖性定理,连续可微性定理,对初值和参数的导数满足的微分方程,奇解的存在性
四、线性方程组(10学时)
解的线性相关、线性无关,齐次方程组解的结构,基本解矩阵,Wronsky行列式,Liouville公式,常数变易法,解的通解公式;常系数线性方程组和常系数高阶线性方程的解法, 矩阵指数函数exp(Ax),待定指数函数法。
五、非线性高阶微分方程(7学时)
首次积分的定义和性质,首次积分的存在性, 数学摆,二体问题。
六、幂级数解法(3学时)
Cauchy定理, 幂级数解法,
七、边值问题(5学时)
Sturm比较定理, 二阶方程解的振动性的判别, Sturm-Liouville边值问题: 特征值,特征函数, 特征函数的正交性
教学方式:每周授课3学时
教材与参考书:
1、柳彬,常微分方程,kaiyun体育登录网页入口出版社
2、丁同仁,李承治:常微分方程教程,高等教育出版社。
3、王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松:常微分方程(第二版),高等教育出版社。
4、叶彦谦:常微分方程讲义(第二版), 人民教育出版社。
5、M. Braun, Differential Equations and Their Applications, Springer-Verlag.
6、E. L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover, New York.
7. E. A. Coddington, N. Levison, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw Hill.New York. 1955.
8. V. I. Arnold, Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag,1992
学生成绩评定方法:期中考试30%,期末考试60%,平时成绩10%。
课程修订负责人:柳彬