课程号：00136890
课程名称：基础代数几何
开课学期：春
学分： 3
先修课程：无
基本目的：了解代数几何中的若干经典问题与基本语言，增加对于代数几何研究对象的感性认识，看到代数概念在几何上的用处。
内容提要：
一、基本概念
仿射空间中的代数子集，代数集的仿射坐标环，仿射坐标环的一些代数性质，有理函数的概念，多项式映射与环同态之间的关系，有理映射的概念，射影空间和齐次坐标的概念，射影空间中的线性子空间及其交会关系，古典射影几何中的对偶原理，射影空间中的代数子集，射影代数子集之间的映射，超曲面上的正则点和奇异点，超曲面在正则点处的流形结构。
二、有理曲线与有理曲面
有理函数域与有理性的概念，双有理等价的基本性质，一维函数域的Luroth定理，二次曲线以及二次超曲面的有理性，某些三次曲线的非有理性的代数证明，三次曲面上的27条直线的存在性，三次曲面是有理曲面的证明，有奇异点的三次曲线和三次曲面的有理性，某些高次曲线的有理性，某些高次超曲面的单向有理性。
三、Hilbert零点定理
Hilbert零点定理的各种形式，多项式环中的理想与仿射空间中的代数子集之间的对应关系，不可约代数子集与素理想，Hilbert零点定理的证明，Hilbert零点定理的各种应用，射影空间中的代数子集与齐次理想之间的对应关系，古典消元理论中的基本定理，任意交换环的谱空间，Zariski拓扑的基本概念，维数的代数定义和基本性质，环的局部化概念，一维正则局部环与曲线的正则点。
四、平面代数曲线
切线与拐点的定义和求法，三次曲线上的加法群结构，平面代数曲线的对偶曲线的概念和例子，结点和尖点的概念，奇异点处局部环的代数性质，曲线的相交数问题，Bezout定理的陈述与证明，平面曲线的亏格概念，亏格的双有理不变性，平面曲线的亏格公式，代数曲线理论与Riemann曲面理论之间的关系，三次曲线与椭圆函数以及椭圆积分之间的关系。
五、各种例子
直纹面的例子，外代数的概念与Grassmann流形，Plucker嵌入与Plucker二次关系式，仿射代数群的基本概念。
六、线性系的语言
线性系的古典概念和例子，由线性系来定义有理映射的方法，线性系与线丛概念密切联系。
教学方式：每周授课3学时
教材与参考书：
1、Joe Harris, Algebraic Geometry, A First Course, Springer-Verlag, GTM 133.
2、I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I , II, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1977.
3、R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer-Verlag, GTM 52.
4、M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, London Mathematical Society Student Texts 12.
学生成绩评定方法：作业20%，期中考试30%，期末考试50%。
课程修订负责人：蔡金星
