课程号：00136870
课程名称：群与表示
开课学期：春
学分： 3
先修课程：数学分析、高等代数、抽象代数
基本目的：群与表示的理论与思想广泛地应用于数学及物理等自然科学的许多领域，在数学研究及教育中的重要性是显而易见的。群论与表示也是数学中古老而极具活力的一个领域。其本身的理论不断的发展更新，并且不断引发新的研究领域。本课程主要内容是介绍群论及表示论中所必知基本概念基本理论及思想。同时，通过仿射代数群的理论，介绍群论与其它数学分支的联系。本课程尽量减少必备的先修课程内容。
内容提要：
一、 仿射线性代数群
本部分主要介绍仿射线性代数群的一些基本性质，尤其是典型群的代数结构。仿射簇、Zariski 拓扑、 希尔伯特基定理、希尔伯特零化定理（超平面）
1、 一般线性代数群的定义、含1的不可约分支、典型群例
2、 线性代数群在1处的切空间的李代数结构
3、 具有BN-pair的群，典型群的Bruhat分解
4、 典型群的单性准则
二、*局部结构
许多数学领域中的问题研究得益于对某一个素数的局部化。在这一部分，将介绍群论对于某一个素数的局部理论。局部结构是研究群论的有力工具。群论中的关于p的局部结构主要是指p子群及其正规化子。（本部分选学）
三、群的线性表示
本部分主要介绍群表示的基本概念和方法。
1、 群表示的定义、模、特征标、子表示、不可约表示、张量积、
2、 Schur引理及其应用、特征标的正交关系、正则表示的分解、不可约常特征标的个数、模的半单分解
3、 群代数及其分解、群代数的中心、特征标的整性质
4、 表示的诱导和限制，Frobenius互反律，Mackey不可约准则
5、 线性代数群的表示与其正则函数环的表示的关系
6、 表示与域的关系
四、特殊群的表示
本部分主要把前面的理论方法在一些具体群上实现。
1、 SL(2,q)的特征标表的计算
2、 双中心化定理，Schur对偶
3、 S_n及GL(n,k)的常表示简介
教学方式：每周授课3课时
教材与参考书：
1、王杰 典型群引论
2、J.L.Alperin and R.B.Bell Groups and Representations
3、Bonnafé, Cédric Representations of SL2(Fq). Algebra and Applications,13. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2011
4、Geck, Meinolf An introduction to algebraic geometry and algebraic groups. Oxford Graduate Texts in Mathematics, 20.
5、D.J.Robinson A course in the theory of groups
6、Serre, Jean-Pierre Linear representations of finite groups. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 42.
学生成绩评定方法：作业20％，期中考试30％，期末考试50％。
课程修订负责人：王立中
