课程号:00136880
课程名称:数论基础
开课学期:秋
学分: 3
先修课程:数学分析、高等代数、抽象代数
基本目的:介绍数论中的若干中心问题和基本思考方法。增加对于抽象代数中某些概念的感性认识。了解数论与其他分支的内在联系。
内容提要: 描述能够写成x^2+ny^2的素数是数论的一个经典问题,本课程将从这个问题出发,学习相关的数论内容。具体内容包括:
一、二次型理论
介绍整系数的二次型理论,包括约化型理论,二次型Genus理论,二次型的复合及类群等。
二、代数整数环初步
代数整数的概念和历史起源简介,欧氏环的定义和例子,因子分解唯一性不成立的代数整数环的例子,Fermat方程和理想概念的引入,理想的一些基本运算规则,理想的范数和素理想的概念,理想分解的唯一性定理的简单介绍,理想类群的基本概念及其与因子分解性质的联系,有限域的概念以及有限域上的多项式环的简单讨论,讨论代数数域扩张的分歧理论。
三、虚二次域
介绍虚二次域order的相关理论,包括order的理想理论,order的理想类群跟虚二次域广义理想类群的关系,order的理想类群及跟二次型类群的关系。
四、类域论介绍及应用
定义Artin符号,并给出类域论的精确陈述(不涉及证明),讨论希尔伯特类域以及更一般的ray类域。讨论类域论跟互反律的关系,细致讲解二次互反律,三次互反律等。介绍Cebotarve密度定理。着重探讨这些理论如何应用到描述能够写成x^2+ny^2的素数。
教学方式:每周授课3学时
教材与参考书:
1.David Cox: Primes of the form x^2+ny^2: Fermat, class field theory and complex multiplication.
2. 华罗庚:数论导引,科学出版社。
学生成绩评定方法:作业20%,期中考试30%,期末考试50%。
课程修订负责人:丁一文