主 题: 从几何代数到高级不变量理论
报告人: 李洪波 研究员 (中国科公司系统研究所)
时 间: 2007-12-07 下午 2:00 - 3:00
地 点: 理科一号楼 1114(数学所活动)
微积分的发明人之一Leibniz有一个著名的梦想，希望能有一种几何计算可以直接处理几何体，而不是Descartes引入的一串数字（坐标）。他设想能有一种代数，它是如此接近于几何本身，以致于其中每个表达式都有明确的几何解释：或者表示几何体，或者表示它们之间的几何关系；这些表达式之间的代数运算，例如加、减、乘、除等，都对应于几何变换。如果存在这样一种代数，它可以被恰当地称为“几何代数”，它的元素被称为“几何数”。
在经典几何中，射影几何的几何代数是Grassmann-Cayley代数，仿射几何的几何代数是仿射Grassmann- Cayley代数，正交几何的几何代数是Clifford代数，而对于最常见的欧氏几何，满足条件“对几何体的表示具有协变性，几何体之间的乘法和除法在欧氏变换下具有等变性”的几何代数，只有近年来发展起来的共形几何代数才完全满足。
共形几何代数（CGA）不仅是欧氏几何，而且是几乎所有十九世纪经典几何的统一的几何代数。它由两部分组成：用于几何表示的共形Grassmann-Cayley代数，和用于几何变换的共形Clifford代数；前者通过Grassmann-Cayley代数运算，统一表示点、线、面、圆、球等的空间关联性质，后者通过spin群表示空间共形变换，能够将双向量Lie代数到spin群的指数映射替代以低次（二次或四次）多项式映射，对几何关系的表示和计算带来极大简化。
共形几何代数也为经典不变量理论从基本不变量发展到高级不变量提供了协变量代数基础。以基本不变量为核心的经典不变量理论，在1970年代由Rota学派复兴，以抽象括号表示基本不变量而不是以坐标和多项式系数为底层语言。在用于符号计算时，基本不变量代数依然遇到坐标表示遇到的几何解释困难、中间表达式膨胀两种主要障碍。只有高级不变量的引入和高级不变量理论的建立，才可能根本克服这些困难。
欧氏几何的高级不变量理论，由零括号代数（NBA）、零Grassmann- Cayley代数（NGC）、零几何代数（NGA）组成，通过零Grassmann-Cayley代数提供几何构造的长乘积表示，通过展开得到零括号代数中的长括号，以零几何代数作为长括号化简的核心工具。高级不变量理论的核心思想，是在变换和化简过程中，力求在中间的每一步都进行项数和次数控制，得到分解形式的和最短的结果。这种计算思想与传统的统一展开和标准化思想，在某种意义上恰好相反。
在经典几何的符号代数推理中，高级不变量理论有相当出色的表现。在测试的近百个困难欧氏几何定理中，三分之一以上只需要一项，只需要三四步简单操作就能够获证；绝大多数定理在两项之内可以完成证明，并通过减弱已知条件来加强定理结论的适用范围。这种出色的表现，本质上是高级不变量的几何代数基础和几何内蕴计算带来的结果。本报告将综述近几年来几何代数和高级不变量理论两方面的主要进展。
