摘要：
我们主要讨论与最对称的双曲单孔环面上的闭测地线的长度相关的一些问题。
设 T 是一个双曲单孔环面 (简称为双曲环面)。这里的 “孔” 可以是开口 (设边界测地线的长度为 λ>0)、尖点、或锥点 (设锥角为 θ, 满足 0<θ<2π). 任取该双曲结构的和乐表示的提升，使之成为曲面的基本群到 SL(2,R) 的表示，可知围绕孔的简单闭曲线所对应的矩阵的迹为
τ = -2cosh(λ/2), -2, 或 -2cosh(θ/2).
记 μ=τ+2, 则有 μ<4. 可以选择和乐表示的提升，使得 T 上每条非边界的简单闭测地线 (长度为 L>0) 的迹都是正的，从而等于 2cosh(L/2) > 2. 选定 T 上三条简单闭测地线，它们两两相交一次；设它们的迹分别为 x>2, y>2, z>2; 则 x, y, z 满足所谓几何 Markoff 方程
x^2 +y^2 +z^2 –xyz = μ.
而 T 上每条闭测地线的迹是 x, y, z 的多项式。
具有固定边界的所有双曲环面构成相对 Teichmuller 空间 Teich_{1,1}(μ), 即
Teich_{1,1}(μ) = { (x, y, z) | x>2, y>2, z>2, x^2 +y^2 +z^2 –xyz = μ }.
则最对称的双曲环面T对应于参数组 (2+x, 2+x, 2+x), 其中 x>0. 设在 T 的和乐表示的适当提升之下，选定的三条两两相交一次的简单闭测地线的 SL(2,R) 矩阵分别为 A, B, A^{-1}B, 它们的迹都等于 2+x. 设 T 上一条允许重复多圈的简单闭测地线所对应的正字 W_{m, n} 由 n 个 A 和 m 个 B 组成 (不妨要求 m≤n)，迹为 M(m, n).
在与李祥飞的合作工作中，我们证明了：
(一) 用 A, B 写出的任何正字的迹，作为 x 的多项式，其系数都是正的 (我们猜测其系数序列具有对数凹性)。
(二) 设 W 是用 A, B 写出的正字，由 n 个 A 和 m 个 B 组成 (其中m≤n)，而且 W 既不是简单闭曲线的字，也不是闭曲线 A^n B^m 的字; 则对于 x≥1, 如下迹不等式成立：
tr(W_{m, n}) < tr(W) < tr(A^n B^m).
(三) 对于 x≥1, 迹 M(m, n) 具有如下的单调性 (其中 m≤n)：
① M(m-1, n) < (1_x)M(m, n);
② M(m, n) < (1+x)M(m, n+1);
③ M(m-1, n+1) > M(m, n).
在 x=1 的情形，这给出 Martin Aigner 在他的书 Markov’s Theorem and 100 Years of the Uniqueness Conjecture (Springer, 2013) 中所猜测的经典 Markoff 数的单调性。
我们还提出了更多猜测，包括如下猜测的凸性不等式 (对于x≥1)：
M(m-2, n+2) + M(m, n) > 2 M(m-1, n+1).
我们也将提及有待开展的相关研究课题 (与王中子等讨论)，包括双曲环面上给定的非简单的闭测地线的长度可以在 Teich_{1,1}(μ) 取得正的下确界的问题，以及在双曲三孔球面上的闭测地线的长度问题。
