编者按
低调却有料，精深又有趣，来我们的课堂看一看。清晰的思路，细致的讲解，爆梗和段子。让学习数学变得妙趣横生。为满足拔尖人才的培养需求，落实“因材施教”的教育理念，2015年起，北大数院针对四门低年级基础课——数学分析、高等代数、几何学、概率论——开设相应的实验班课程。今日带你“走进”高等代数实验班课堂，细品这里独特的课程设置，有趣的学习视角，聆听老师的幽默段子和助教的歌声，以及课程背后的故事……
一、“实验课并不是要做实验哈！”
正如高等代数不是最“高等”的代数，抽象代数不是最“抽象”的代数一样，高等代数实验班也并不是要做什么“实验”。安金鹏老师幽默地解释道：“（设置实验班的）核心目的是为了因材施教，类似于欧美大学的‘Honors Course’。并不是说把同学们当作小白鼠哈！”
实验班并不是行政班，只是教学班。大一学生可以自由选择是否上实验班课程，每学期限选50人。自2015年设置实验班至今，除18-19学年外其余学年的高代实验班课程都由安金鹏老师任教。安老师介绍说，实验班所讲授的高等代数的主体内容是和普通班基本一致的，在深度、广度、抽象程度更高一点，另外在教学顺序上稍有差别。“高代的实验班课程是以线性空间、线形映射为主线，以此开头，一上来就是一般域上的线性空间，矩阵、行列式、多项式都看作研究线性空间和线性映射的工具。”同时安老师强调：“大班是不能这么讲的，还是要照顾更多的同学。”大班的高等代数往往从方程组、矩阵、行列式这些更接近中学数学风格的内容开始讲，之后再逐步抽象出线性空间、线性映射的概念。
两种讲法各有优劣，最终取决于受众的接受程度。安老师分析道：“从矩阵开始讲呢，好处是更易于大多数人接受，然而这样难免会抹掉一些更本质的东西。从线性空间开始讲呢，好处是更本质，然而会有一定的理解门槛。而在数院的学生中，的确有一部分同学的起点比较高，像有的同学可能中学时学过一点线性代数，稍有一点基础；有的同学可能抽象思维能力强，接受这种抽象语言比较快；总之各有各的强法。因此基于因材施教的原则，提供实验班这样一个平台，让这些同学能够尽快接触一些后续内容。”可见，这样的差异化课程安排，是基于教学内容及学生层次进行的精准而科学的设计。
安金鹏老师的高代课堂
安老师回忆自己学生时代时，起初就一直没能理解“矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积”这件事，“证明能看明白，但证明中究竟发生了什么事，始终没想明白，觉得怎么竟然有这种巧合。”直到很久之后才明白，人们希望把矩阵乘法定义为线性映射的复合，把行列式定义为线性映射把体积扩大的倍数，这样这个命题就非常自然，几乎不需要证明。而今，在实验班的高代课上，安老师会用外积的方式引进行列式。“就是觉得‘如果当时可以学到就好了！’可以说，我现在所讲的很多内容也是希望自己上学时能学到的内容。”的确啊！很多内容仅靠自学是难以体会的：比如宏观上，一些理论的核心思想、想法、观点，不同分支之间的联系；再比如微观上，一些简单的观察，几处必要的注记，等等……这些都是需要老师及时点拨的。安老师期望，每节课让学生能听到些自学时学不到的东西。
之前安金鹏老师还教过泛函分析、线性代数群、各种名字的李群课、其他院系的线性代数等等。谈到备课，安老师的经验是：“我一般每讲一门新的、完全没讲过的课，那这个学期就不安排别的事了，就只备课：每周为了讲这三四个小时，可能要准备四五十个小时。当然，如果是讲过很多遍的课就能相对轻松一些啦。”
经过多年的打磨，高代实验班所使用的讲义已经基本成型，尤其是下半学期的讲义，文字简练清晰，并且观点深刻。不过也不会完全脱离教材，目前是把讲义和教材结合起来使用。选择教材时安老师着实费了一番周折：“当时比较了国内外百余本教材。问题在于很多国外的教材是一个学期的量，最后选定了Hoffman这本相对适合的教材，是两个学期的量，并且设计思路基本符合（比如：较早地引入了线性空间，以外积的方式来讲行列式），但缺点是有点老，是60年代MIT的教材，可能今天来看不是最精练、最成熟的。”安老师期望最终自己可以写一本教材，更好地满足教学需求。
安金鹏老师撰写的课程讲义（节选）
课程所用教材封面
总的来说，高等代数是十分重要的基础课。“它是以后很多课程乃至做研究时很重要的工具。即使以后对象非线性，那研究它的第一步也常常是线性化”，安老师这样说。因此，高代实验班的教学目的并不是追求“难”、“快”，而是希望为这些起点比较高，能力比较强的同学，为他们将来从事数学研究，打下一个坚实的基础。古人云：“行远自迩，登高自卑”，也许台下这些莘莘学子的数学探索之旅，就在这黑板上的一笔一划间启程了！
二、一堂习题课的诞生
习题课是对正课的重要补充，是课程教学体系的重要组成部分。安老师觉得习题课的主要目的是“举例子”：“因为正课是按照逻辑线索讲下来的，可能来不及举太多的例子，没时间来演示这套理论在实际问题上如何操作。像这些内容就要放到习题课上来展示。”
为了保障实验班课程的教学质量，习题课会由经验较为丰富的的博士生来讲授。目前担任高代实验班习题课教学的是18级博士生白瑞祺和姜杰东。这已经是白瑞祺连续第四个学期担任高代实验班的助教了；之前担任过信科高等代数和数院数论引论助教的姜杰东今年是首次担任实验班课程助教。两人均是数论方向，工位也在一起，平时交流讨论十分方便。
助教白瑞祺和姜杰东在为习题课备课
在白瑞祺看来，公司设立习题课的初衷在于“帮助大一学生完成高中到大学的过渡”。他解释道，无论是高考数学还是竞赛数学，其教学目的都是面向试题、提高成绩，其教学形式都是以机械化、肌肉记忆式的习题训练为主，而大学数学课程是为了培养数学研究者而设置的，很多大一学生并不能很快适应这种学习目的上的转变。此外，高中数学和大学数学在内容、风格、思维方式、学习范式等方面也有很大差别，因此需要在学生初入大学时加以引导，帮助他们完成从高中到大学的过渡。
这样的教学定位自然对习题课的设计准备提出了更高的要求。双周周二的晚上，两位助教会一起聚在全斋的讨论室，筹备当周的习题课。姜杰东介绍道：“我们一般会事先过一遍教材、讲义、作业，并一起快速浏览一下老师这两周的课程录像，再结合老师对习题课的‘最高指示’，最终确定习题课的主题。”
所谓“主题”，就是一些主题词，譬如“Cayley-Hamilton定理”、“同时对角化”等等。两位助教觉得，习题课虽名为“习题”课，却不应以一道道习题为中心，而是以一个个主题为中心展开，将教材、习题、补充材料等众多素材成体系地组织在这些主题之下。两位助教各带一个班，内容上会有难易、详略、取舍的差别，但会保持主题体系的一致。每次习题课上课前，还会将今天的主题框架提前写在黑板的左侧，以便同学记录整理。
习题课板书
针对每个主题，两位助教要完成三个步骤的教学设计：
第一步：进行必要的知识框架梳理，对一些冗长的证明或分散的知识点加以提纲挈领式的总结收拢，并增加必要的补充、注记。第二步：搜集相关素材，一部分素材来源于教材和习题集，另一部分则是针对具体内容的补充素材。总之，实验班习题课并不囿于一本教材或习题集，而是“以整个数学世界为底版”进行设计的，他们将每个主题形容成一个大池塘，各种有趣的想法、新鲜的素材被不断汇聚在一起。第三步：结合当前知识对原始素材进行再加工。对于基础习题，要进行方法的总结，多种方法和角度的对比，等等；而对于一些扩展内容，则要考虑怎样用当前知识来讲解，怎样用丰富的例子填补起数学直观，所扩展的内容对理解当前知识有何帮助，等等。
完成这三步后，内容已经多得一堂课塞不下了。下半学期习题课两周一次，而内容却数倍于上学期，只好挑选其中最必要、最值得讲的内容，并做好时间预算。两人对着设计好的计划表上比划着：“你看，这个主题大概要15-20分钟，讲到这儿是第一节课，把这个知识框架总结安排到这儿，正好可以在课间休息时写板书……”“可以可以，计划通啊！”
讨论结束已是深夜，两位助教回去后各自准备讲义。白瑞祺会负责写一版最详细的讲义，将之前搜集到的内容尽可能完整地记录下来，争取覆盖两个班的内容；课上只挑其中一部分来讲，课后再把完整内容发到知乎上，供学生课后学习。截至目前，白瑞祺已在知乎上发布与习题课有关的讲义、拓展和心得近10篇，其中他于今年1月份发布的《高等代数，前进四！——高代实验班习题课设计（2020秋）》一文在知乎、朋友圈被火爆转发。
白瑞祺手写的习题课讲义（节选）
白瑞祺发布在知乎上的习题课设计总结 《高等代数，前进四！——高代实验班习题课设计》（节选）
习题课的准备是件耗时耗力的事，两位教学新手还不能像安老师一样驾轻就熟，然而他们乐此不疲。他们认为精心细致的备课不仅有利于更好地课堂展示，也有利于自己加深对相关知识的理解，“学到了很多以前不了解的内容”。尤其是备课时头脑的风暴、想法的碰撞、思维的共振，一同交织成双周周二晚上最美妙的时刻。
三、学问、分数、乐趣
当被问及选课时的想法，数院19级英才班傅浩桐同学说：“有多方面原因，主要是学长的推荐，认识的同学里也有很多选了这门课，加上我以前就听说过安老师很厉害，就选了他的课。”元培20级薛寒玉同学说：“我中学已经学过一些线性代数，想学习一些更深入的内容。”数院20级熊茳楠同学说：“大一上的时候，没有选课经验，随意地选课。正逢军训被打了鸡血，心想刚入学就不敢选有挑战的实验班，以后就更不敢选更高难度课程的实验班了？于是脑子一热，直接同时选了三高的实验班。不过后来的丰富收获证明，这并不是一个坏选择。”有同学表示：“安老师讲课讲得确实好，不仅仅思路清晰，而且能让你学懂，让你更能掌握线性代数这个知识体系。”“在安老师班里面待一年，学到了很多的知识，为后续课程打下基础，而且收获的不仅仅是知识，更有一种心态和勇气，还有对数学本身的喜爱。”“高代实验班给我最大的感觉就是非常抽象，大部分内容都是聚焦于线性映射与线性空间上。这相比于矩阵上的运算无疑有趣得多，也让我得以以另一个视角去看待高代中的内容。”“安老师的课采用完全独特的教材，独一无二的教学顺序，用另一种更深邃的视角看待“高等”代数。但当你进入了这一套思维体系，会有一种独特的享受感，无需繁琐计算，看似抽象的符号体系导出了简洁而深刻的理论。”
安老师常常在学期第一堂课时“花式劝退”：“大家早点退课啊，这门课考试很难。”助教也会强调：“考试有风险，选课需谨慎！”事实上最后成绩出来发现大家考得都还不错。安老师曾自我调侃：“看来期末考试难度还是不够啊，总评远远超出优秀率限制，估计我要为命题太过简单写检讨，不过牺牲我一个照亮大家，也是不错的选择。”
高代实验班的考试很有特点：每次的考试题只有四五道，以证明题为主，一般不会出现复杂的计算题；时间两个小时，如果发现题目过难，大部分同学没做完的话，还会适当延长时间；同学们在考试上绞尽脑汁、费尽笔墨，然而考完一看安老师的答案，竟然只用一页纸就轻松解决，令人啧啧称奇！安老师表示：“我想要考能力，不是记住几个定理啊知识点啊或者掌握一些固定的做题套路就可以得好成绩的，是要把所学的知识真正地融会贯通，活学活用，揉成自己的东西。”安老师偏好于这样的题目：有一定的知识背景，譬如李群、李代数等等，但是不知道背景的话也不会影响做题。
20级英才班饶睿同学提到一个很有趣的小插曲：“上学期期末考试前，助教整理了一份复习资料（起名叫《防卷指南》），安老师在群里表示这样自己的出题压力会很大（‘你这哪是防卷啊，你这是内卷加速师啊！’）然后考试时我们发现考试题目完美地避开了复习资料。”
考完试，安老师和两位助教一起阅卷。安老师说，阅卷时主要是看想法，不会过分抠细节，当然平时肯定是要反复强调证明的规范性的。白助教曾回复询问阅卷情况的同学：“放心，‘小大之狱，虽不能察，必以情。’”这些让19级周奇同学觉得：“安老师在考试出题和改卷子上非常严谨，非常认真，以致于高代成绩总是最晚出来的。”
据周奇回忆，安老师曾在课上说：“绩点的小差别对个人没有长期的客观影响。在主观上，如果谁需要用绩点来找自我认同感，就‘上套’了。”
考场之外，课堂之上，别有一番乐趣！安老师常常用生动形象的方式讲解一些概念，比如：把函数f和自变量x，看成地位均等的，二者“碰到一起”，“产生了一些火花”，诞生了f(x)。这蕴含了“把自变量看成函数的函数”的“对偶”思想。
再比如 ，很多同学都对安老师关于“两个证明同伦”的表述印象深刻：“怎么判断两个证明是不是本质上一样的呢？我们想象这是知识空间里的两根线，看能不能连续地变过去。如果从上帝视角来看，他可能觉得随意两根线都能移过去，但对我们而言，中间可能会遇到一栋楼挡着，当然，天才可以爬楼爬过去。”同学们因此将安老师的微信头像——一只瞪圆眼睛的猫——称做“上帝的凝视”。
安金鹏老师的微信头像
考试出分后，安老师会在群里开玩笑说：“卷面成绩超过80分的同学需要准备挑战Fields奖，其他同学可以挑战Wolf奖。”
这些流传甚广的“梗”，还被白助教改编成了歌曲《我的高代》：“一条大河波浪宽，走路别撞电线杆。为了证明能同伦，开启了上帝视角，把菲尔兹奖拿到手软！”在今年4月15日（即欧拉诞辰314周年）的习题课结束后唱给了大家听，把同学们逗得前仰后合。歌词的最后一句是：“预祝大家考试成功！”
多年之后，同学们也许不会记得考场上遭受的小挫折，不会再因绩点的浮动而提心吊胆，但他们也许会在不经意间想起，那个永远带来惊奇与欢乐的课堂。纵使周遭遍是喧嚣浮华，愿老师、助教、学生共同创造的这份回忆永驻心间，带给人宁静、温暖与前行的力量。
高等代数实验班是北大数院落实“因材施教”教育理念的典型代表，其背后既有学校、公司层面的顶层设计，更有任课教师及助教的辛勤付出。在拔尖人才培养方面，北大数院始终走在前列，正如安金鹏老师所说：“北大数院为这些志同道合的学生提供了一个‘聚会的地方’，在这里能接触到很多高手，融入这样一个群体。同学之间一起讨论、进步、提高，比自己孤军奋战要好得多。”期盼更多热爱数学的同学加入北大数院！
